Sieci mikrofalowe - nowe narzędzie analizy grafów kwantowych

Rozwiązywanie wielu problemów w fizyce nastręcza fundamentalnych trudności związanych ze złożonością obliczeniową. Konwencjonalne komputery, w tym nawet superkomputery, są niewystarczające do rozwiązywania skomplikowanych problemów matematycznych związanych z kwantowym opisem materii, ani do symulowania układów kwantowych nawet z zaledwie 30 cząstkami.

Potrzebne są lepsze metody i narzędzia obliczeniowe, miedzy innymi po to aby zrozumieć i racjonalnie zaprojektować nowe materiały, których właściwości często zależą od kolektywnego zachowania setek czy tysięcy kwantowych cząstek czy też do projektowania nowy urządzeń w nanotechnologii. Od pewnego czasu takimi narzędziami stały się symulatory kwantowe, które pozwalają na badanie układów kwantowych, trudnych do zbadania w laboratorium i niemożliwych do modelowania za pomocą superkomputera. W tym przypadku symulatory są urządzeniami specjalnego przeznaczenia, zaprojektowanymi w celu zapewnienia wglądu w określone zjawiska fizyczne.

Symulatory kwantowe zostały zrealizowane na wielu platformach eksperymentalnych, w tym w systemach ultrazimnych gazów kwantowych, w systemach fotonicznych i w obwodach nadprzewodzących. Jednym z matematycznych narzędzi do modelowania, badania i konstruowania symulatorów są grafy kwantowe, które umożliwiają między innymi tworzenie i formalną analizę modeli i zjawisk w fizyce mezoskopowej wykorzystywanej do uzyskania teoretycznego zrozumienia i rozwoju nanotechnologii.

W matematyce graf kwantowy jest liniową, sieciową strukturą wierzchołków połączonych krawędziami o określonej długości. Praktycznym przykładem takiego grafu może być sieć energetyczna składająca się z linii przesyłowych (krawędzi) połączonych w stacjach transformatorowych (wierzchołki). Równania różniczkowe opisywałyby następnie napięcie wzdłuż każdej z linii (krawędzi), wraz z warunkami brzegowymi dla każdego wierzchołka, zapewniając, że prąd dodany na wszystkich krawędziach zsumuje się do zera w każdym wierzchołku.

Grafy kwantowe były po raz pierwszy badane przez amerykańskiego fizykochemika, dwukrotnie nagrodzonego Nagroda Nobla, Linusa Paulinga jako modele dynamiki swobodnych elektronów w cząsteczkach organicznych, takich jak naftalen. Grafy pojawiają się także w różnych kontekstach matematycznych, na przykład jako układy modelowe w chaosie kwantowym, w badaniach sieci falowodów, w kryształach fotonicznych i w opisie zjawiska lokalizacji Andersona.

Grafy kwantowe znajdują zastosowanie jako idealizacja rzeczywistych sieci fizycznych, a do ich najbardziej niezwykłych własności należy izospektralność. Mianowicie wykazano, że istnieją grafy o różnych kształtach, które posiadają dokładnie takie samo widmo stanów energetycznych! Czyli są izospektralne. Oznacza to, że różne systemy fizyczne dające się opisać izospektralnymi grafami będą miały analogiczne własności.

W świecie rzeczywistym grafy nie są układami zamkniętymi, innymi słowy mają otwarte, niezakończone krawędzie, które analizę takich grafów czynią znacznie trudniejszą. Do takiej analizy fizykom na pomoc przyszły klasyczne symulatory grafów kwantowych w postaci sieci mikrofalowych.

W przełomowych badaniach wykonanych w Instytucie Fizyki PAN wykazano, że grafy kwantowe z symetrią i bez symetrii ze względu na odwrócenie czasu mogą być eksperymentalnie symulowane przez klasyczne sieci mikrofalowe. Sieci te mogą być także wykorzystywane do badania układów z bardzo silną dyssypacją. Ponieważ sieci mikrofalowe mogą symulować druty kwantowe i wiele innych struktur, proponowane badania pogłębiają także naszą wiedzę o właściwościach tych układów, która jest bardzo ważna z perspektywy badań podstawowych a także przyszłych zastosowań. Ten bardzo ważny kierunek badań matematycznych i fizycznych został zapoczątkowany przez słynne pytanie polsko-amerykańskiego matematyka i fizyka Marka Kaca „Czy słyszymy kształt bębna?”, które w wypadku systemów jednowymiarowych może być zmienione na pytanie „Czy słyszymy kształt grafu?”.

W artykule, który ukazał się w prestiżowym czasopiśmie Physical Reviev Letters, polsko-czeski zespół autorów z Instytutu Fizyki PAN i Uniwersytetu w Hradcu Králové przedstawił ważny wynik: pierwszą eksperymentalną realizację grafów innych niż grafy Weyla. Takie grafy nie są scharakteryzowane przez prawo Weyla, które opisuje średnią gęstość rezonansów na podstawie ich całkowitej długości. Wykorzystując sieci mikrofalowe, które symulują grafy kwantowe, badacze pokazali, że istnieją grafy, które nie są zgodne z charakterystyką prawa Weyla.

Jak podkreśla lider zespołu, współautor pracy profesor Leszek Sirko: w Instytucie Fizyki zademonstrowaliśmy po raz pierwszy, że przejście z grafu Weyla na graf nie-Weyla zachodzi, jeśli wprowadzimy zrównoważony wierzchołek, w którym liczby połączeń ze światem zewnętrznym i wewnętrznych krawędzi są takie same.

Na rys. 1 panele (a) i (b) pokazują, odpowiednio, schematy grafów Weyla i nie-Weyla. Panele (c) i (d) przedstawiają odpowiednie sieci mikrofalowe Weyla i nie-Weyla zbudowane z koncentrycznych kabli i złączy mikrofalowych. Rys. 2 przedstawia rezonanse eksperymentalnie przebadanych grafów mikrofalowych Weyla i nie-Weyla. Zgodnie z oczekiwaniami, teoretycznie (czerwone strzałki) grafy nie-Weyla zawierające wierzchołek zrównoważony z dwoma nieskończonymi odprowadzeniami L1∞ i L2∞ wykazują mniejszą liczbę rezonansów. Przedstawione w Physical Review Letters wyniki wyraźnie pokazują, że liczba mierzonych rezonansów może znacząco zależeć od sposobu, w jaki mierzony system jest podłączony do świata zewnętrznego.

Podobny problem pojawia się przy rozważaniu sieci zbudowanych z falowodów kwantowych. Są to systemy mezoskopowe zbudowane ze ścieżek o szerokości w skali nanometrów. Zdaniem autorów pracy w opisie takiego systemu widmo operatora Laplace'a zbiega się z widmem operatora Laplace'a analogicznego grafu kwantowego modelowanego przez nasze sieci mikrofalowe. W związku z tym, lepsze zrozumienie właściwości modeli zbudowanych z naszych sieci mikrofalowych powinno pozwolić na stworzenie nowych subtelnych narzędzi dla kwantowej nanotechnologii, które umożliwią ingerowanie we właściwości struktur kwantowych bez konieczności ich wewnętrznej przebudowy. Takie struktury należy po prostu odpowiednio połączyć z otaczającym je światem.

sieć mikrofalowa graf Weyla graf kwantowy Instytut Fizyki PAN