Matematyk udowodnił niestabilność jednego z rodzajów czasoprzestrzeni

| Astronomia/fizyka
Department of Mathematics, University of California, Berkeley

Równania wywiedzione z ogólnej teorii względności opisują trzy podstawowe konfiguracje czasoprzestrzeni. Teraz udowodniono, że jedna z tych konfiguracji, ważna z punktu widzenia grawitacji kwantowej, jest z natury niestabilna.

Wszystko zaczęło się przed czterema laty, gdy matematyk Mihalis Dafermos z Princeton University zaproponował swojemu doktorantowi Georgiosowi Moschidisowi, by ten spróbował stworzyć matematyczny dowód na niestabilność pewnej konfiguracji czasoprzestrzeni. Dafermos wiedział, że stawia przed studentem niezwykle trudne zadanie i wątpił, czy ten sobie z nim poradzi.

W 2006 roku Dafermos wraz z Gustavem Holzegelem wysunęli przypuszczenie – czyli niedowiedzione twierdzenie, które wydaje się być prawidłowe – o niestabilności przestrzeni anty de Sittera (przestrzeni AdS). Nie sądziłem, by kiedykolwiek zostało to dowiedzione, przyznaje. Zachęcił jednak swojego doktoranta do pracy nad tym niezwykle trudnym problemem.

Okazuje się, że postawił właściwy problem przed właściwym człowiekiem. Od 2017 roku Moschidis w kolejnych pracach udowadnia niestabilność przestrzeni AdS. To zaś oznacza, że jeśli w przestrzeń AdS wrzucimy kawałek materii, pojawi się czarna dziura.

Matematyk Jonathan Luk z Uniwersytetu Stanforda, który zna prace Moschidisa, mówi, że jego osiągnięcie jest zadziwiające. To, co odkrył to ogólny mechanizm niestabilności. Można go odnieść do innych konfiguracji, niezwiązanych z AdS, w których materia lub energia jest zamknięta i nie ma gdzie uciec. Sam Dafermos jest dumny ze swojego byłe studenta i przyznaje, że jego praca to z pewnością najbardziej oryginalna rzecz jaką w ciągu ostatnich lat widział na polu matematyki zajmującej się ogólną teorią względności.

Przypuszczenie o niestabilności odnosi się do einsteinowskich równań dotyczących ogólne teorii względności, które dokładnie przewidują, jak masa i energia wpływają na zagięcie czasoprzestrzeni. W próżni, gdzie nie ma w ogóle materii, czasoprzestrzeń również może być zagięta, a grawitacja może istnieć z powodu gęstości energetycznej samej próżni, którą możemy opisać jako stałą kosmologiczna.

Trzy najprostsze równania odnoszą się do symetrycznych konfiguracji, czyli takich, gdzie zagięcie czasoprzestrzeni jest wszędzie takie samo. W przestrzeni Minkowskiego, gdzie stała kosmologiczna wynosi 0, wszechświat jest idealnie płaski. W przestrzeni de Sittera, gdzie stała kosmologiczna ma wartość dodatnią, wszechświat ma kształt sfery. Natomiast w przestrzeni AdS mamy ujemną wartość stałej kosmologicznej, a wszechświat ma kształt siodła.

Matematycy od dawna zastanawiali się, czy te próżniowe czasoprzestrzenie są stabilne. Co się stanie, gdy zaburzymy je, wrzucając np. kawałek materii. Czy wrócą one do swojego oryginalnego stanu czy też powstanie coś innego. Pytanie można to porównać do pytania o to, co się stanie, gdy wrzucimy kamień do stawu. Czy fale z czasem zanikną, czy też powstanie tsunami?

W 1986 roku udowodniono, że przestrzeń de Sittera jest stabilna. W 1993 roku udowodniono stabilność przestrzeni Minkowskiego. Przypuszczano, że przestrzeń anty de Sittera jest niestabilna. Jednak zbadanie tego problemu wymagało opracowania nowych narzędzi. Matematyka ma wiele narzędzi do badania stabilności. Jednak niestabilność to całkiem inny obszar badawczy. Szczególnie niestabilność tego rodzaju, mówi Dafermos.

Matematycy sądzili, że przypuszczalna niestabilność AdS może wynikać z tego, że jej granice są odblaskowe. Zatem docierające do nich fale odbijają się i wracają. Z poglądem tym zgadzają się fizycy, przyznaje Juan Maldacena, o którego osiągnięciach wspominaliśmy na naszych łamach.

Jeśli zaś granice są odblaskowe, nic się nie może z przestrzeni AdS wydostać, to można przypuszczać, że każda ilość materii czy energii dodana do systemu może zostać skoncentrowana tak bardzo, że powstanie czarna dziura. Pytanie więc brzmi, czy rzeczywiście tak się stanie, a jeśli tak, to jaki mechanizm powoduje tak olbrzymią koncentrację i nie pozwala pozostać materii lub energii w rozproszeniu?

Moschidis rozwiązał problem w oryginalny sposób. Wyobraził sobie, że stoi w środku przestrzeni AdS, co można porównać do stania wewnątrz gigantycznej piłki, której granice leżą w nieskończoności. Jeśli wyślemy ze środka światło, to dotrze ono do krawędzi w skończonym czasie. Stanie się tak z powodu znanego relatywistycznego efektu: chociaż przestrzeń dzieląca nas od granicy jest nieskończona, to dla obiektu czy fali poruszających się z prędkością światła czas zwalnia. Zatem dla obserwatora światło dotrze do granicy AdS w skończonym czasie.

W swoich obliczeniach Moschidis posłużył się cząstką Einsteina-Własowa, która jest często wykorzystywana w modelach dotyczących ogólnej teorii względności. Cząstki te tworzą koncentryczne kręgi na powierzchni czasoprzestrzeni. Gdy wrzucimy takie cząstki do badanej przez nas czasoprzestrzeni, pojawiają się koncentryczne kręgi, z których dwa pierwsze będą największe, gdyż zawierają one najwięcej materii i energii. Pierwsza z fal (1) będzie rozszerzała się na zewnątrz, aż dotrze do granicy, odbija się i ruszy w kierunku centrum, kurcząc się po drodze. Ta kurcząca się fala 1 napotka na swojej drodze falę 2, która wciąż podąża w kierunku granicy i się rozszerza. Jak stwierdził Moschidis, z równania Einsteina wynika, że w takim wypadku fala rozszerzająca się (2) zawsze przekaże swoją energię fali kurczącej się (1). Gdy fala 1 dotrze do środka przestrzeni, znowu zacznie się rozszerzać i na swojej drodze spotka powracającą, kurczącą się, falę 2. Teraz to 1 przekaże energię 2. Taki proces może powtórzyć się wielokrotnie.

Moschidis zdał sobie sprawę z jeszcze jednego faktu. Otóż w pobliżu centrum fale zajmują mniej miejsca, a niesiona przez nie energia jest bardziej skoncentrowana. Z tego też powodu fale spotykające się w pobliżu centrum wymieniają więcej energii, niż te spotykające się w pobliżu brzegów przestrzeni. To zaś powoduje, że fala 1 oddaje fali 2 więcej energii w pobliżu centrum, niż fala 2 oddaje fali 1 energii w pobliżu brzegów.

Po wielu powtórzeniach takiej stacji fala 2 staje się coraz większa i większa, zabierając energię fali 1. Zwiększa się energia fali 2. W końcu jest ona tak wielka, że gdy fala 2 zmierza do centrum, jej energia zostaje tak bardzo skoncentrowana, iż tworzy się czarna dziura.

Moschidis wykazał więc, że gdy dodamy do przestrzeni AdS najmniejszą nawet ilość materii, niewątpliwie utworzy się czarna dziura. Jednak, jako że – z definicji – przestrzeń AdS ma wszędzie jednakowe wygięcie, nie może zawierać obiektów takich jak czarne dziury, zaginających przestrzeń w inny sposób. Jeśli zaburzysz czasoprzestrzeń AdS i poczekasz odpowiednio długo, powstanie inna geometria, zawierająca czarną dziurę, a to już nie będzie AdS. To właśnie nazywamy niestabilnością, mówi Moschidis.

Ostatnio młody uczony udowodnił niestabilność AdS dla zupełnie innego rodzaju zaburzeń, bezmasowego pola skalarnego. Jak zauważa Dafermos, jako że fale generowane w polu skalarnym są przybliżeniem fal grawitacyjnych, to Moschidis przybliżył się w ten sposób do ostatecznego celu – udowodnienia niestabilności AdS w prawdziwej próżni, gdzie czasoprzestrzeń zostaje zaburzona przez grawitację bez udziału materii.

Autor:

Źródło: Quanta Magazine

czasoprzestrzeń Einstein ogólna teoria względności przestrzeń AdS Georgios Moschidis